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<!DOCTYPE html>

<title>Thomas-Fermi-Modell</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Thomas-Fermi-Modell</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Thomas-Fermi-Modell (TF; auch bekannt als statistische Theorie atomarer Systeme bzw. des Atoms<a href="#cite_note-Gombas-1">[1]</a> oder Thomas-Fermi-Theorie<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>) ist ein <a href="Atommodell" class="mw-redirect" title="Atommodell">Atommodell</a>, das die Atomhülle als ein Gas von <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> behandelt, welches durch das elektrostatische Feld des <a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkerns</a> gebunden ist und den Zustand geringstmöglicher Energie einnimmt, wobei die durch die Elektronenwolke selbst bewirkte Abschirmung mit berücksichtigt wird. Es handelt sich um eine <a href="Semiklassische_N%C3%A4herung" title="Semiklassische Näherung">semiklassische Näherung</a>, denn die Quantenmechanik wird nur insoweit berücksichtigt, als die Elektronen das <a href="Pauli-Prinzip" title="Pauli-Prinzip">Paulische Ausschließungsprinzip</a> befolgen, also ein ideales <a href="Fermi-Gas" class="mw-redirect" title="Fermi-Gas">Fermi-Gas</a> bilden. Das Thomas-Fermi-Modell wurde unabhängig voneinander 1927 von <a href="Llewellyn_Thomas" title="Llewellyn Thomas">Llewellyn Thomas</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> und <a href="Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">Enrico Fermi</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> entwickelt und macht noch keinen Gebrauch von der 1926 von <a href="Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> entwickelten <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">quantenmechanischen Wellengleichung</a>.<a href="#cite_note-Gombas-1">[1]</a> 1930 erweiterte <a href="Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> das Modell durch näherungsweise Einbeziehung der <a href="Austauschintegral" class="mw-redirect" title="Austauschintegral">Austauschenergie</a> zum TFD-Modell.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbau_des_Modells">Aufbau des Modells</h2></div>

Befinden sich in einem Gebiet mit potentieller Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> Elektronen, die im Grundzustand dieses Vielteilchensystems alle möglichen Zustände mit Energien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=V+E_{kin}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=V+E_{kin}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f449e116abf1039b22aa85be9b51f142ed8c9525.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=V+E_{kin}}" loading="lazy"> bis zu einer Obergrenze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{kin}=E_{\mathrm {F} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{kin}=E_{\mathrm {F} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e4f7eb7e5930795bc760f5f276071ef1b79f64e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{kin}=E_{\mathrm {F} }}" loading="lazy"> besetzen, dann ist nach der Theorie des Fermi-Gases die <a href="Teilchendichte" title="Teilchendichte">Teilchendichte</a> in diesem Gebiet

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\mathrm {F} }\right]^{\frac {3}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7a839c6d6c4d827ecd8bbb13800ad41880c8dbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.938ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\mathrm {F} }\right]^{\frac {3}{2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"> die <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierte Planck-Konstante</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> die Elektronenmasse.

Die Elektronen (Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07ba5105b33e9ac88f605cc50663a9e2c16fcc63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.892ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -e}" loading="lazy">) erzeugen ein elektrostatisches Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy">, das über die <a href="Poisson-Gleichung" title="Poisson-Gleichung">Poisson-Gleichung</a> mit der Ladungsdichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -e\rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -e\rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cdd9bcb4f37f94ba36eed744e18da86b1c3f8bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.094ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -e\rho }" loading="lazy"> zusammenhängt:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )={\frac {e\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9354bcd5785534eb8ac82e53909cff59bb1d03ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.657ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )={\frac {e\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im <a href="Gau%C3%9Fsches_Einheitensystem" title="Gaußsches Einheitensystem">gaußschen Einheitensystem</a> lautet die Gleichung: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )=4\pi e\rho (\mathbf {r} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )=4\pi e\rho (\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0fbde1dd45f321250bb3ed88258e5733d718584.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.315ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle \Delta \Phi (\mathbf {r} )=4\pi e\rho (\mathbf {r} )}" loading="lazy">.

Aus diesen beiden allgemeingültigen Zusammenhängen entsteht durch drei weitere Gleichungen ein Atommodell:

<ol><li>Die gesamte potentielle Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(\mathbf {r} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e505f45567900bfaf3ceb2f7602c3ff72a982f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(\mathbf {r} )}" loading="lazy"> eines Elektrons im Atom mit der Kernladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ze}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ze}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7620c533057ff764ac2077a003e4a7c14a0450e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ze}" loading="lazy"> ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{4\pi \varepsilon _{0}r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{4\pi \varepsilon _{0}r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/218d781a08454bdbea20f588cecb029933454dfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.635ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{4\pi \varepsilon _{0}r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}" loading="lazy"> bzw. im Gauß-System: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a0b2b0243097e4434bee9b408dbdaa564a64932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.719ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {Ze}{r}}-e\Phi (\mathbf {r} )}" loading="lazy">.</li>

<li>Die höchste Energie der besetzten Zustände soll an jedem Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.102ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} }" loading="lazy"> im Atom dieselbe sein: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =V(\mathbf {r} )+E_{F}(\mathbf {r} )=\mathbf {const} }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =V(\mathbf {r} )+E_{F}(\mathbf {r} )=\mathbf {const} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/593ba87125f41adf9b9979d1f787398f856300f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.332ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu =V(\mathbf {r} )+E_{F}(\mathbf {r} )=\mathbf {const} }" loading="lazy"></li>

<li>Die Gesamtzahl der Elektronen wird durch die Normierung festgelegt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \rho (\mathbf {r} )\;\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =Z}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \rho (\mathbf {r} )\;\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fc51cafe50a681a36bc0296edb3d46700b9a0bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.567ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \rho (\mathbf {r} )\;\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =Z}" loading="lazy">.</li></ol>

Die erste der drei Gleichungen bedeutet, dass für jedes Elektron das gleiche Potential gilt und dass weitere quantenmechanische Effekte, die auf Korrelationen zwischen den Elektronen beruhen wie z. B. die <a href="Austauschintegral" class="mw-redirect" title="Austauschintegral">Austauschenergie</a>, ignoriert werden. Die zweite Gleichung muss für den Grundzustand erfüllt sein, damit die Gesamtenergie nicht durch räumliche Verschiebung eines Elektrons noch abgesenkt werden könnte. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ist das räumlich konstante <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemische Potential</a>. Damit wird die Fermi-Energie ortsabhängig, mithin auch die Elektronendichte. Die dritte Gleichung legt die Normierung der Teilchendichte für ein neutrales Atom fest, für positive Ionen wäre sie entsprechend abzuändern (für negative Ionen hat das Modell keine stabile Lösung).

Im Thomas-Fermi-Modell bestimmen sich die räumliche Verteilung der Elektronen und das ortsabhängige Potential gegenseitig so, dass alle obigen Gleichungen erfüllt sind. Das heißt, die räumliche Verteilung der Elektronen hat in der gewählten semiklassischen Näherung die Eigenschaft, dass sie (zusammen mit dem Kern) gerade das elektrostatische Potential erzeugt, aus dem sich an jedem Ort die der Dichte entsprechende Fermienergie ergibt. Gesucht ist also eine selbstkonsistente Lösung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umfang_und_Einschränkungen">Umfang und Einschränkungen</h2></div>

Das Thomas-Fermi-Modell stellt den einfachsten Weg dar, in einem Viel-Elektronensystem nicht nur die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der Elektronen zumindest in pauschaler und klassischer Weise zu berücksichtigen, sondern auch das quantenmechanische <a href="Pauli-Prinzip" title="Pauli-Prinzip">Pauli-Prinzip</a>. Ausgangspunkt ist die nur näherungsweise richtige Vorstellung, es gäbe einen festen Potentialtopf und er sei für alle Elektronen gleich. Das Modell ergibt daher für alle Atome (der Form nach) denselben Verlauf der Elektronendichte. Die Größe der Atome wird annähernd richtig wiedergegeben, ihre totale Bindungsenergie aber überschätzt (z. B. bei Hg um 17 %)<a href="#cite_note-Schwinger-6">[6]</a>. Genauere Vorstellungen über die Form der Zustände der einzelnen Elektronen, detailliertere Informationen über den Aufbau der Elektronenhülle (z. B. <a href="Atomorbital" title="Atomorbital">Atomorbitale</a>) oder die stabile Bindung zwischen Atomen kann das Modell nicht liefern.<a href="#cite_note-Teller-7">[7]</a><a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

Im Vergleich zu Methoden, die versuchen die Schrödingergleichung zu lösen (z. B. nach dem <a href="Hartree-Fock-Verfahren" class="mw-redirect" title="Hartree-Fock-Verfahren">Hartree-Fock-Verfahren</a> bzw. der <a href="Self-Consistent-Field-Methode" title="Self-Consistent-Field-Methode">Self-Consistent-Field-Methode</a>, SCF)<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-Slater-9">[9]</a> approximiert die TF-Näherung die <a href="Elektronendichte" title="Elektronendichte">Elektronendichte</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77f477411625125978c0a18946bdfae2c1f13bcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}" loading="lazy"> und versucht die Gesamtenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(\rho )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\rho )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91519e54c53fcbb09bb382a513802d39789be073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(\rho )}" loading="lazy"> als <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a> der Dichte auszudrücken.<a href="#cite_note-nobelprize-10">[10]</a><a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

Ca. 40 Jahre nach der TF-Theorie erbrachten die zwei Theoreme von <a href="Hohenberg-Kohn-Theorem" title="Hohenberg-Kohn-Theorem">Hohenberg-Kohn</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> sowie dem <a href="Dichtefunktionaltheorie_(Quantenphysik)#Die_Kohn-Sham-Funktionen" title="Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)">Kohn-Sham</a>-Ansatz<a href="#cite_note-12">[12]</a> den Beweis, dass der Ansatz, gleich von der Elektronendichte anstelle von den Wellenfunktionen auszugehen, für den Grundzustand keine Näherung darstellt, sondern geeignet ist, zu einer exakten Lösung zu führen.<a href="#cite_note-Young-13">[13]</a><a href="#cite_note-Becke-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erweiterungen">Erweiterungen</h2></div>

TF-Erweiterungen sind die Thomas-Fermi-Dirac- (TFD)<a href="#cite_note-15">[15]</a> und Thomas-Fermi-Dirac-<a href="Carl_Friedrich_von_Weizs%C3%A4cker" title="Carl Friedrich von Weizsäcker">Weizsäcker</a>-(TFDW)-Näherung,<a href="#cite_note-16">[16]</a><a href="#cite_note-17">[17]</a><a href="#cite_note-18">[18]</a> für welche jedoch wie im Falle der TF-Näherung durch <a href="Edward_Teller" title="Edward Teller">Teller</a> gezeigt werden konnte, dass keine stabilen Bindungen möglich sind.<a href="#cite_note-Teller-7">[7]</a>

Slater modifizierte die TFD-Näherung weiter (Akronym: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39308414a52622ff42b2b865f1c935fc9e35204f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.208ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{\alpha }}" loading="lazy"> bzw. <a href="Hartree-Fock-Methode" title="Hartree-Fock-Methode">Hartree-Fock-Slater</a>-Methode).<a href="#cite_note-19">[19]</a><a href="#cite_note-Slater-9">[9]</a> Slaters <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39308414a52622ff42b2b865f1c935fc9e35204f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.208ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{\alpha }}" loading="lazy">-Methode, welche als Vereinfachung der HF-Methode entwickelt wurde, stellte die erste einfache Form einer <a href="Dichtefunktionaltheorie_(Quantenphysik)" title="Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)">Dichtefunktionaltheorie</a> (DFT) dar.<a href="#cite_note-Young-13">[13]</a><a href="#cite_note-20">[20]</a><a href="#cite_note-Becke-14">[14]</a>

TF bildet die Basis der sog. Dichtefunktionaltheorie (DFT; auch: KS-DFT),<a href="#cite_note-21">[21]</a><a href="#cite_note-22">[22]</a><a href="#cite_note-Becke-14">[14]</a> für die <a href="Walter_Kohn" title="Walter Kohn">Walter Kohn</a> und <a href="John_Anthony_Pople" title="John Anthony Pople">John A. Pople</a> 1998 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurden.<a href="#cite_note-nobelprize-10">[10]</a><a href="#cite_note-23">[23]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Gombas-1">↑ <a href="#cite_ref-Gombas_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-Gombas_1-1">b</a> P. Gombás: <cite style="font-style:italic">Das statistische Modell von Thomas und Fermi</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Die Statistische Theorie des Atoms und ihre Anwendungen</cite>. Springer Vienna, Vienna 1949, ISBN 3-7091-2101-9, S. 30–76, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2100-9_3">10.1007/978-3-7091-2100-9_3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Das+statistische+Modell+von+Thomas+und+Fermi&rft.au=P.+Gomb%C3%A1s&rft.btitle=Die+Statistische+Theorie+des+Atoms+und+ihre+Anwendungen&rft.date=1949&rft.doi=10.1007%2F978-3-7091-2100-9_3&rft.genre=book&rft.isbn=3709121019&rft.pages=30-76&rft.place=Vienna&rft.pub=Springer+Vienna" style="display:none">

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<li id="cite_note-:1-2">↑ <a href="#cite_ref-:1_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-:1_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-:1_2-2">c</a> Elliott H. Lieb, Barry Simon: <cite style="font-style:italic">Thomas-Fermi Theory Revisited</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. Band 31, Nr. 11, 10. September 1973, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220031-9007%22&key=cql">0031-9007</a>, S. 681–683, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.31.681">10.1103/PhysRevLett.31.681</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Thomas-Fermi+Theory+Revisited&rft.au=Elliott+H.+Lieb%2C+Barry+Simon&rft.date=1973-09-10&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.31.681&rft.genre=journal&rft.issn=0031-9007&rft.issue=11&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=681-683&rft.volume=31" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> L. H. Thomas: <cite style="font-style:italic">The Calculation of Atomic Fields</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 23, Nr. 5, 1927, S. 542–548, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100011683">10.1017/S0305004100011683</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=The+Calculation+of+Atomic+Fields&rft.au=L.+H.+Thomas&rft.date=1927&rft.doi=10.1017%2FS0305004100011683&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=542-548&rft.volume=23" style="display:none">

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<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> E. Fermi: <cite style="font-style:italic">Eine statistische Methode zur Bestimmung einiger Eigenschaften des Atoms und ihre Anwendung auf die Theorie des periodischen Systems der Elemente</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Zeitschrift für Physik</cite>. Band 48, Nr. 1–2, 1928, S. 73–79, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01351576">10.1007/BF01351576</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Eine+statistische+Methode+zur+Bestimmung+einiger+Eigenschaften+des+Atoms+und+ihre+Anwendung+auf+die+Theorie+des+periodischen+Systems+der+Elemente&rft.au=E.+Fermi&rft.date=1928&rft.doi=10.1007%2FBF01351576&rft.genre=journal&rft.issue=1-2&rft.jtitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Physik&rft.pages=73-79&rft.volume=48" style="display:none">  Siehe auch italienische Erstveröffentlichung von E. Fermi: <cite style="font-style:italic">Un metodo statistico per la determinazione di alcune priorieta dell’atome</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Rendicondi Accademia Nazionale de Lincei</cite>. Band 6, Nr. 32, 1927, S. 602–607.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Un+metodo+statistico+per+la+determinazione+di+alcune+priorieta+dell%E2%80%99atome&rft.au=E.+Fermi&rft.date=1927&rft.genre=journal&rft.issue=32&rft.jtitle=Rendicondi+Accademia+Nazionale+de+Lincei&rft.pages=602-607&rft.volume=6" style="display:none">

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<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> P. A. M. Dirac: <cite style="font-style:italic">Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 26, Nr. 3, Juli 1930, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220305-0041%22&key=cql">0305-0041</a>, S. 376–385, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100016108">10.1017/S0305004100016108</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0305004100016108/type/journal_article">cambridge.org</a> [abgerufen am 14. November 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Note+on+Exchange+Phenomena+in+the+Thomas+Atom&rft.au=P.+A.+M.+Dirac&rft.date=1930-07&rft.doi=10.1017%2FS0305004100016108&rft.genre=journal&rft.issn=0305-0041&rft.issue=3&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=376-385&rft.volume=26" style="display:none">

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<li id="cite_note-Schwinger-6"><a href="#cite_ref-Schwinger_6-0">↑</a> Julian Schwinger: <cite style="font-style:italic">Thomas-Fermi model: The leading correction</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Phys. Rev. A</cite>. Band 22, 1980, S. 1827–1832, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevA.22.1827">10.1103/PhysRevA.22.1827</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Thomas-Fermi+model%3A+The+leading+correction&rft.au=Julian+Schwinger&rft.btitle=Phys.+Rev.+A&rft.date=1980&rft.doi=10.1103%2FPhysRevA.22.1827&rft.genre=book&rft.pages=1827-1832&rft.volume=22" style="display:none">

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<li id="cite_note-Teller-7">↑ <a href="#cite_ref-Teller_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-Teller_7-1">b</a> Edward Teller: <cite style="font-style:italic">On the Stability of Molecules in the Thomas-Fermi Theory</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Reviews of Modern Physics</cite>. Band 34, Nr. 4, 1. Oktober 1962, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220034-6861%22&key=cql">0034-6861</a>, S. 627–631, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/RevModPhys.34.627">10.1103/RevModPhys.34.627</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=On+the+Stability+of+Molecules+in+the+Thomas-Fermi+Theory&rft.au=Edward+Teller&rft.date=1962-10-01&rft.doi=10.1103%2FRevModPhys.34.627&rft.genre=journal&rft.issn=0034-6861&rft.issue=4&rft.jtitle=Reviews+of+Modern+Physics&rft.pages=627-631&rft.volume=34" style="display:none">

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<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> D. R. Hartree: <cite style="font-style:italic">The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part II. Some Results and Discussion</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 24, Nr. 1, Januar 1928, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221469-8064%22&key=cql">1469-8064</a>, S. 111–132, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100011920">10.1017/S0305004100011920</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/wave-mechanics-of-an-atom-with-a-noncoulomb-central-field-part-ii-some-results-and-discussion/5916E7A0DEC0A051B435688BE2ACD57E">cambridge.org</a> [abgerufen am 14. November 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=The+Wave+Mechanics+of+an+Atom+with+a+Non-Coulomb+Central+Field.+Part+II.+Some+Results+and+Discussion&rft.au=D.+R.+Hartree&rft.date=1928-01&rft.doi=10.1017%2FS0305004100011920&rft.genre=journal&rft.issn=1469-8064&rft.issue=1&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=111-132&rft.volume=24" style="display:none">

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<li id="cite_note-Slater-9">↑ <a href="#cite_ref-Slater_9-0">a</a> <a href="#cite_ref-Slater_9-1">b</a> J. C. Slater, K. H. Johnson: <cite style="font-style:italic">Self-Consistent-Field Xα Cluster Method for Polyatomic Molecules and Solids</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review B</cite>. Band 5, Nr. 3, 1. Februar 1972, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220556-2805%22&key=cql">0556-2805</a>, S. 844–853, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevB.5.844">10.1103/PhysRevB.5.844</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Self-Consistent-Field+X%CE%B1+Cluster+Method+for+Polyatomic+Molecules+and+Solids&rft.au=J.+C.+Slater%2C+K.+H.+Johnson&rft.date=1972-02-01&rft.doi=10.1103%2FPhysRevB.5.844&rft.genre=journal&rft.issn=0556-2805&rft.issue=3&rft.jtitle=Physical+Review+B&rft.pages=844-853&rft.volume=5" style="display:none">

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<li id="cite_note-nobelprize-10">↑ <a href="#cite_ref-nobelprize_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-nobelprize_10-1">b</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/1998/press-release/">The Nobel Prize in Chemistry 1998.</a> 13. Oktober 1998, abgerufen am 13. November 2021 (amerikanisches Englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AThomas-Fermi-Modell&rft.title=The+Nobel+Prize+in+Chemistry+1998&rft.description=The+Nobel+Prize+in+Chemistry+1998&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.nobelprize.org%2Fprizes%2Fchemistry%2F1998%2Fpress-release%2F&rft.language=en-US">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> P. Hohenberg, W. Kohn: <cite style="font-style:italic">Inhomogeneous Electron Gas</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review</cite>. Band 136, 3B, 9. November 1964, S. B864–B871, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864">10.1103/PhysRev.136.B864</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Inhomogeneous+Electron+Gas&rft.au=P.+Hohenberg%2C+W.+Kohn&rft.date=1964-11-09&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.136.B864&rft.genre=journal&rft.issue=3B&rft.jtitle=Physical+Review&rft.pages=B864-B871&rft.volume=136" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> W. Kohn, L. J. Sham: <cite style="font-style:italic">Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review</cite>. Band 140, 4A, 15. November 1965, S. A1133–A1138, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.140.A1133">10.1103/PhysRev.140.A1133</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Self-Consistent+Equations+Including+Exchange+and+Correlation+Effects&rft.au=W.+Kohn%2C+L.+J.+Sham&rft.date=1965-11-15&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.140.A1133&rft.genre=journal&rft.issue=4A&rft.jtitle=Physical+Review&rft.pages=A1133-A1138&rft.volume=140" style="display:none">

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<li id="cite_note-Young-13">↑ <a href="#cite_ref-Young_13-0">a</a> <a href="#cite_ref-Young_13-1">b</a> David C. Young: <cite style="font-style:italic">Computational chemistry : a practical guide for applying techniques to real world problems</cite>. Wiley, New York 2001, ISBN 0-471-33368-9, S. 42 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.au=David+C.+Young&rft.btitle=Computational+chemistry+%3A+a+practical+guide+for+applying+techniques+to+real+world+problems&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=0471333689&rft.pages=42+ff.&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley" style="display:none">

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<li id="cite_note-Becke-14">↑ <a href="#cite_ref-Becke_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-Becke_14-1">b</a> <a href="#cite_ref-Becke_14-2">c</a> Axel D. Becke: <cite style="font-style:italic">Perspective: Fifty years of density-functional theory in chemical physics</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The Journal of Chemical Physics</cite>. Band 140, Nr. 18, 14. Mai 2014, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220021-9606%22&key=cql">0021-9606</a>, S. 18A301, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1063/1.4869598">10.1063/1.4869598</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Perspective%3A+Fifty+years+of+density-functional+theory+in+chemical+physics&rft.au=Axel+D.+Becke&rft.date=2014-05-14&rft.doi=10.1063%2F1.4869598&rft.genre=journal&rft.issn=0021-9606&rft.issue=18&rft.jtitle=The+Journal+of+Chemical+Physics&rft.pages=18A301&rft.volume=140" style="display:none">

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<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> P. A. M. Dirac: <cite style="font-style:italic">Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 26, Nr. 3, Juli 1930, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220305-0041%22&key=cql">0305-0041</a>, S. 376–385, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100016108">10.1017/S0305004100016108</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0305004100016108/type/journal_article">cambridge.org</a> [abgerufen am 14. November 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Thomas-Fermi-Modell&rft.atitle=Note+on+Exchange+Phenomena+in+the+Thomas+Atom&rft.au=P.+A.+M.+Dirac&rft.date=1930-07&rft.doi=10.1017%2FS0305004100016108&rft.genre=journal&rft.issn=0305-0041&rft.issue=3&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=376-385&rft.volume=26" style="display:none">

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<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/news/nobelpreis-fuer-chemie-1998/341593">Nobelpreis für Chemie 1998.</a> Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, 14. Oktober 1998, abgerufen am 14. November 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AThomas-Fermi-Modell&rft.title=Nobelpreis+f%C3%BCr+Chemie+1998&rft.description=Nobelpreis+f%C3%BCr+Chemie+1998&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Fnews%2Fnobelpreis-fuer-chemie-1998%2F341593&rft.publisher=Spektrum+der+Wissenschaft+Verlagsgesellschaft+mbH&rft.date=1998-10-14&rft.language=de">

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4185321-0">4185321-0</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85134929">sh85134929</a> | <a href="Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00576240">00576240</a> </div>

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